정답 : ④
두 점 \( A(a)\), \( B(b)\) 를 \( m:n\) 으로 내분하는 점의 좌표는 \( \displaystyle{\frac{n\times a+m\times b}{m+n} } \) 이므로 주어진 조건을 대입하자.
\( \displaystyle{\frac{(1-m)\log_{5}{3}+m\log_{5}{12} }{m+(1-m)} =1} \)
\( \displaystyle{\log_{5}{3}-m\log_{5}{3}+m\log_{5}{12}=1}\)
\(\displaystyle{m\left( \log_{5}{12}-\log_{5}{3} \right)=1-\log_{5}{3} }\)
\(\displaystyle{ m\times\log_{5}{4}=\log_{5}{\frac{5}{3} }}\)
\( \displaystyle{\begin{align} \therefore m&=\frac{\log_{}{\displaystyle{\frac{5}{3}} } }{\log_{}{5}}\times\frac{\log5}{\log4}\\[5pt]&= \log_{4}{\frac{5}{3}}\end{align} }\)
\( \displaystyle{\therefore 4^m=\frac{5}{3} }\)
내분점 공식이 매번 헷갈린다면 그림을 그려서 풀어보자.
문제 상황을 그림으로 나타내면 아래와 같다.
선분의 길이의 비가 \( m:1-m\) 이므로 이를 이용해 비례식을 세우자.
\( \displaystyle{\left( 1-\log_{5}{3} \right):\left( \log_{5}{12}-1 \right)=m:1-m } \)
내항의 곱과 외항의 곱이 같으므로
\( \displaystyle{m\times\left( \log_{5}{12}-1 \right)=(1-m)\times\left( 1-\log_{5}{3} \right)}\)
이를 풀면 \(\displaystyle{m=\log_{4}{\frac{5}{3}}}\)를 얻을 수 있다.
여기서 약간 아이디어를 첨가하자면, 길이의 비를 꼭 \( m:1-m\) 으로 둘 필요는 없다.
점 \( \mathrm{P}\) 와 \( 1\) 사이의 길이와 \( \overline{\mathrm{PQ}}\)의 길이의 비는 \( m:1\) 이므로 이를 활용하여 식을 세우면
\( \displaystyle{\left( 1-\log_{5}{3} \right):\left(\log_{5}{12}-\log_{5}{3}\right)=m:1 }\)이므로
\(\displaystyle{m=\frac{1-\log_{5}{3} }{\log_{5}{12}-\log_{5}{3}}=\frac{\log_{5}{\displaystyle{\frac{5}{3}} } }{\log_{5}{4} } } \)
\( \displaystyle{\therefore m=\log_{4}{\displaystyle{ \frac{5}{3} }} } \), \(\displaystyle{4^m=\frac{5}{3} } \)