2024학년도 수능 8번 문제 및 해설

\( xf(x)-f(x)=3x^4-3x\) 의 양변을 인수분해하자.

\(\begin{align}  (x-1)f(x)&=3x(x^3-1)\\[5pt]&= 3x(x-1)(x^2+x+1)\end{align} \) 

양변을 \( (x-1)\) 로 나누자. (\( f(x)\) 가 \( 3\)차함수(연속함수)이므로 양변을 나눠도 된다.)

즉, \( f(x)=3x(x^2+x+1)\) 이고, 적분범위가 대칭이므로 식을 전개하면

\( f(x)=3x^3+3x^2+3x\) 이다.

\( \displaystyle{\begin{align}  \therefore \int_{-2}^{2}f(x)dx&=\int_{-2}^{2}(3x^3+3x^2+3x)dx\\[5pt]&=  \int_{-2}^{2}3x^2dx\\[5pt]&= 2\times\int_{0}^{2}3x^2dx\\[5pt]&= 2\times \left[x^3\right]^2_{0}=16\end{align}  } \)