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2024학년도 수능 6번 문제 및 해설

정답 : ④

1. 재료파악

등비수열 \( \left\{ a_n\right\}\) 의 관한 식이 \( 2\) 개 제시되어 있으므로 단순하게 등비수열의 항 \( 1\) 개와 공비 \( r\) 을 구하면 된다.
등비수열의 합 \( S_n\) 이 제시되어 있다고 등비수열의 합 공식 \( \displaystyle{S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1} }\) 을 무조건 사용해야 한다는 고정관념에서 벗어나자. 등비수열의 합 공식은 가능하면 공비 \( r\) 을 알 때 사용하는 것이 좋다.

2. 2024학년도 수능 6번 해설 1

\(S_4-S_2=3a_4\) 에서 \( S_4-S_2=a_4+a_3\) 이므로

\(a_3+a_4=3a_4\) , \(\displaystyle{\frac{1}{2}a_3=a_4 } \) 이다.

\( \displaystyle{\therefore r=\frac{1}{2} } \)

이제 등비수열의 일반항을 구하기 위해서는 항의 값 \(1\) 개가 필요한데, 문제에서 \( \displaystyle{a_5=\frac{3}{4} }\) 를 제시했으므로 이를 활용하자.

\( \displaystyle{\therefore a_n=a_5\times\left( \frac{1}{2} \right)^{n-5}=\frac{3}{4}\times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-5}} \)

양변에 \(n=1,\;n=2\) 를 대입해 \( a_1,\;a_2\) 의 값을 구하자.

\( \displaystyle{a_1=\frac{3}{4}\times\left(\frac{1}{2} \right)^{-4}}=12\)

\( \displaystyle{a_2=\frac{3}{4}\times\left(\frac{1}{2} \right)^{-3}=6 }\)

\( \therefore a_1+a_2=18\)

3. 2024학년도 수능 6번 해설 2

\(\displaystyle{r=\frac{1}{2} }\)이므로(\( r\)을 구하는 과정은 [해설1]을 참고하자.)

\( \displaystyle{a_4=2a_5=\frac{3}{2} }\) 이다.

즉, \(\displaystyle{a_3+a_4=3a_4=3\times\frac{3}{2}=\frac{9}{2}}\)

구해야 하는 값이 \( a_1+a_2\) 이고, 연속된 \( 2\) 개의 항을 묶어도 여전히 공비가 \( \displaystyle{\frac{1}{2} }\) 인 등비수열이므로

\(\displaystyle{\begin{align} a_1+a_2&=\left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \times(a_3+a_4)\\[5pt]&= 4\times\frac{9}{2}\\[5pt]&= 18\end{align} } \)