정답 : ④
\( f'(x)=3x(x-2)\) 를 적분하기 위해서 전개하면,
\( f'(x)=3x^2-6x\) 이다.
\( \displaystyle{\begin{align} f(x)&=\int f'(x)dx\\[5pt]&= \int 3x^2-6x\\[5pt]&= x^3-3x^2+C \end{align} } \)
\( f(1)=6\) 이므로 양변에 \( x=1\) 을 대입해 \( C\) 를 구하자.
\( f(1)=1-3+C=6\)
\( \therefore C=8\)
따라서 \( f(x)=x^3-3x^2+8\) 이므로 \( f(2)=4\) 이다.
이 문제를 부정적분의 방법이 아닌 도함수를 이용해 함수의 그래프를 그려 해결해보자.
\( f'(x)=3x(x-2)\) 이므로 이를 이용해 \( f(x)\) 의 그래프를 대략 그려보면 아래와 같다.
\( x=1\) 은 변곡점이고 \( f(1)=6\) 이므로 삼차함수의 비율관계를 적용하자.
함수 \( f(x)\) 와 \( y=6\) 의 차이함수를 이용해 식을 작성하면
\( f(x)-6=(x-1)(x-1+\sqrt{3})(x-1-\sqrt{3} ) \) 이고, 양변에 \( x=2\) 를 대입하면
\( f(2)-6=1\times(1-\sqrt{3} )(1+\sqrt{3} )\)
\( \therefore f(2)=4\)