정답 : ②
최종적으로 구해야 하는 값이 \( \tan\theta\) 이고, \( \theta\) 는 제\(3\)사분면의 각, \(\displaystyle{ \sin (-\theta )=\frac{1}{3} }\)이 주어져 있다.
직각삼각형을 이용하여 \( \sin\), \( \tan\) 의 관계를 빠르게 찾아내고, 마지막에 부호를 붙여 계산하자.
부호를 무시하고 생각하면 \( \displaystyle{\sin\theta=\frac{1}{3} }\) 이므로 직각삼각형을 그리면 아래와 같다.
\(\displaystyle{\tan\theta=\frac{1}{2\sqrt{2} }=\frac{\sqrt{2} }{4} }\) 이고, \( \theta\) 는 제\( 4\)사분면의 각이므로 \( \tan\) 의 부호는 음수이다.
\( \displaystyle{\therefore \tan\theta=-\frac{\sqrt{2} }{4} }\)
위의 방법이 아닌 조금 더 원칙적인 방법으로 접근해보자.
주어진 조건은 \( \sin\theta\) 의 값과 \( \theta\) 가 제\( 4\)사분면의 각이라는 조건이다.
구하고자 하는 것은 \( \tan \theta\) 값이므로 삼각함수 사이의 관계식을 활용하자.
\(\displaystyle{1+\frac{1}{\tan^2\theta}=\frac{1}{\sin^2\theta} } \) 이고,
\(\displaystyle{ \sin{(-\theta)}=\frac{1}{3} }\) 에서 \( \displaystyle{-\sin\theta=\frac{1}{3} }\) 이다.
이를 위의 식에 대입하면,
\( \displaystyle{1+\frac{1}{\tan^2\theta}=9 } \) 이므로 \( \displaystyle{\tan^2\theta=\frac{1}{8} }\) 이다.
\( \theta\) 가 제\( 4\)사분면의 각이므로 \( \tan\theta<0\) 이다.
\( \displaystyle{\therefore \tan\theta=-\frac{1}{2\sqrt{2} }=-\frac{\sqrt{2} }{4} } \)