정답 : \( 483\)
제시된 조건을 다시 써보면
모든 정수 \(k\) 에 대하여 \(f(k-1)f(k+1)\ge0\)을 만족해야 한다.
이를 해석하면 \( 2\)칸 떨어진 정수를 대입했을때 함숫값의 부호가 일치하거나, 적어도 \( 1\)개는 \( 0\)이어야 한다.
또한 \( \displaystyle{f’\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4}, f’\left(\frac{1}{4}\right)<0}\) 이므로 \( f'(0)<0\) 임을 알 수 있다.
즉, 이를 토대로 대략적인 함수 \( f(x)\)의 개형을 그려보면 아래와 같다.
이제 함수값의 부호를 결정해야하므로 \( x\) 축의 위치를 결정하자.
\( x\) 축과 함수 \( f(x)\) 의 교점의 개수에 따라 CASE 분류를 해도 되지만 문제의 조건은 \( 2\)칸 떨어진 정수들의 함숫값의 부호를 관찰하는 것이고, \(f(0)\) 또한 이 조건을 만족해야 하므로 \( f(0)\) 의 위치에 따라 CASE 분류를 해보자.
[CASE 1] \(f(0)>0\)
일단 \( f'(0)<0\) 이므로 함수 \( f(x)\) 의 그래프는 \( x=0\) 에서 감소하는 개형이므로 위와 같은 개형이 된다.
\( 2\) 칸 떨어진 정수의 함숫값을 곱했을 때 \( 0\) 또는 양수이어야 한다.
즉, \( f(0)>0\) 이므로 \( f(-2)=0\) 또는 \( f(-2)>0\) 이어야 한다.
만약 \( f(2)=0\) 이라면 그래프의 개형은 아래와 같을 것이다.
이 경우 \( f(-2)f(0)\ge0\) 을 만족하지만 \( f(-3), f(-1)\) 의 부호가 서로 다르므로 \( f(-3)f(-1)<0\) 이 되어 문제의 조건을 만족하지 않는다.
따라서 \( f(-2)>0\) 이다.
그럼 같은 논리를 전개해보면 \( f(-4), f(-6), f(-8), \cdots \)의 함숫값은 모두 양수라는 결론에 도달한다.
즉, 이는 \( 3\)차함수가 아니므로 모순이다.
따라서 \( f(0)\)은 양수가 될 수 없다.
[CASE 2] \(f(0)<0\)
이 경우도 위의 [CASE 1] 과 비슷하게 \( f(2), f(4), f(6), \cdots \) 의 함숫값을 따져주면 모두 음수라는 결론에 도달해서 모순이 된다.
따라서 \( f(0)=0\) 이어야 한다.
[CASE 3] \(f(0)=0\)
\( f(0)=0\) 이므로 \( f(x)=0\)은 서로 다른 \( 3\)실근을 가진다.
음수인 근 하나를 \( k\) 라 하자.
위의 그림처럼 \( k\) 와 \( 0\) 사이에 정수가 존재하게 되면 문제의 조건을 만족하지 않는다.
\( k\) 의 바로 오른쪽 정수와 그 정수에서 왼쪽으로 \( 2\) 칸 떨어진 정수의 함숫값의 부호가 반대이기 때문이다.
예를들어 위의 그림을 보면 \( f(-2), f(-4)\) 의 함숫값의 부호가 다르게 되므로 문제의 조건을 만족하지 않는다.
같은 논리로 양근과 \( 0\) 사이에도 정수가 존재하면 안된다.
그럼 위의 그림처럼 실근이 각각 \( -1\) 과 \( 0\), \( 0\) 과 \( 1\) 사이에 위치한 경우를 생각해보자.
이 경우 \( f(-1), f(1)\) 의 부호가 서로 반대이므로 마찬가지로 문제의 조건을 만족하지 않는다.
만약 위의 그림과 같이 \( f(x)=0\) 의 세 실근이 \( -1, 0, 1\) 인 경우를 생각해보자.
\( f(-3)f(-1)=0\), \( f(-2)f(0)=0\), \( f(-1)f(1)=0\), \( f(0)f(2)=0\), \( f(1)f(3)=0\) 이 되면서 깔끔하게 모든 정수 \( k\) 에 대해 \( f(k-1)f(k+1)\ge0\) 을 만족하게 된다. (\(k\le-3\), \( k\ge3\) 인 경우는 \( f(x)\) 의 부호가 모두 같다!)
따라서 이 경우 \( f(x)=x(x-1)(x+1)=x^3-x\)이다.
\( f'(x)=3x^2-1\)의 양변에 \( \displaystyle{x=-\frac{1}{4}}\) 을 대입하면
\(\displaystyle{f’\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{16}-1=-\frac{13}{16}}\)
이 되어 조건 \(\displaystyle{f’\left( -\frac{1}{4} \right)=-\frac{1}{4}}\)을 만족하지 않는다.
이제 위의 그림과 같은 상황을 생각해보자.
이 경우도 마찬가지로 \( 2\) 칸 떨어진 정수의 부호를 조사해보면
\( f(-3)f(-1)=0\), \( f(-2)f(0)=0\), \( f(-1)f(1)=0\), \( f(0)f(2)=0\), \( f(1)f(3)>0\) 이 되면서 깔끔하게 모든 정수 \( k\) 에 대해 \( f(k-1)f(k+1)\ge0\) 을 만족하게 된다. (\(k\le-3\), \( k\ge3\) 인 경우는 \( f(x)\) 의 부호가 모두 같다!)
따라서 이 경우 \( f(x)=0\) 의 양근을 \(a\) 라 하면
\( f(x)=x(x+1)(x-a)=x^3+(1-a)x^2-ax\)이다.
\( f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a\)의 양변에 \( \displaystyle{x=-\frac{1}{4}}\) 을 대입하면
\(\displaystyle{f’\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{16}-\frac{1}{2}(1-a)-a =-\frac{1}{4}}\)
이를 풀면 \( \displaystyle{a=-\frac{1}{8}}\)이다.
즉, \( a\) 는 양수라는 조건에 모순이다.
따라서 우리가 찾는 함수의 개형은 아래와 같다.
\( 2\) 칸 떨어진 정수의 부호를 조사해보면
\( f(-3)f(-1)>0\), \( f(-2)f(0)=0\), \( f(-1)f(1)=0\), \( f(0)f(2)=0\), \( f(1)f(3)=0\) 이 되면서 깔끔하게 모든 정수 \( k\) 에 대해 \( f(k-1)f(k+1)\ge0\) 을 만족하게 된다. (\(k\le-3\), \( k\ge3\) 인 경우는 \( f(x)\) 의 부호가 모두 같다!)
따라서 이 경우 \( f(x)=0\) 의 음근을 \(a\) 라 하면
\( f(x)=x(x-1)(x-a)=x^3+(1+a)x^2+ax\)이다.
\( f'(x)=3x^2+2(1+a)x+a\)의 양변에 \( \displaystyle{x=-\frac{1}{4}}\) 을 대입하면
\(\displaystyle{f’\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{16}-\frac{1}{2}(1-a)+a =-\frac{1}{4}}\)
이를 풀면 \( \displaystyle{a=-\frac{5}{8}}\)이다.
따라서 \(\displaystyle{f(x)=x(x-1)\left(x+\frac{5}{8}\right)}\)이다.
\( \displaystyle{\therefore f(8)=8\times7\times\left(8+\frac{5}{8}\right)=483}\)