정답 : \( 10\)
먼저 새롭게 정의된 함수 \( g(t)\) 의 의미를 파악해보자.
\(f(x)\) 는 \( x=6\) 에서 연속이고 \( a>0\) 이므로 대략적인 개형을 그리면 아래와 같다.
\( g(t)\) 는 닫힌구간 \( [t-1, t+1]\) 에서 \( f(x)\) 의 최댓값이므로 \( t\) 에 적당한 숫자를 넣어보면서 그 추이를 관찰해보자.
먼저, \( t=0\) 을 대입해보자.
\( g(0)\) 은 구간 \( [-1, 1]\) 에서 \( f(x)\) 의 최댓값이므로 위의 그림을 보면 \( 5\)임을 알 수 있다.
그런데 문제의 조건에서 \( g(t)\) 의 최솟값이 \( 5\)라고 제시했으므로, 어떤 구간을 잡든 그 구간에서 \( f(x)\)의 최댓값은 \( 5\) 이상이어야 한다.
\( t\) 의 값을 점점 키워보자.
위의 그림에서 보면 \( t+1\le3\) 일 때, \( f(x)\) 의 최댓값은 항상 오른쪽 끝이 되므로
\( g(t)=f(t+1)\) 이다.
이때, \( f(t+1)\ge f(1)=5\) 이므로 이 구간에서 최댓값은 \( 5\) 이상이다.
이제 구간 \( [t-1, t+1]\) 안에 \( 3\) 이 포함되어 있을 때를 관찰해보자.
(사실, \( g(t)\) 의 최솟값이 \( 5\) 가 되도록 하면 되고, \( g(0)=5\) 이므로 \( t+1\ge5\) 부분을 확인하면 되지만, 학습하는 관점에서 천천히 살펴보자.)
위의 그림에서 보면 구간 \( [t-1, t+1]\) 안에 \( 3\) 이 포함되어 있으면 함수 \( f(x)\) 의 최댓값은 항상 \( f(3)=9\) 가 되므로 \( g(t)=9\) 가 된다.
즉, \(t-1\le3\le t+1\)에서 \(g(t)=9\) 이다.
이때도 구간의 최댓값이 \( 5\) 보다 크므로 문제의 조건을 만족한다.
\( t\) 의 값을 조금 더 키워보자.
위의 그림에서 보듯이 \( t-1\ge3\), \( t+1\le6\) 일 때, 함수 \( f(x)\) 의 최댓값은 항상 왼쪽 끝이 되므로 \( g(t)=f(t-1)\ge5\) 이다.
이제 \( t\) 값을 더 키워서 구간 \( [t-1, t+1]\) 에 \( 6\) 이 포함될 때를 생각해보자.
위의 그림에서 보면 \(t-1\le5\) 일 때, \( f(x)\) 의 최댓값은 \( 5\)보다 크므로 별 문제가 되지 않는다.
\( t\) 를 조금 더 키워서 \( t-1>5\) 일 때, 관찰해보자.
먼저 구간의 왼쪽 끝을 보면, \( t-1>5\) 일 때, \( f(t-1)<5\) 이다.
즉, \( g(t)\ge5\)가 되려면 빨간색 구간의 최댓값이 \( 5\)이상 이어야 한다.
빨간색 구간에서 최댓값 후보는 왼쪽 끝( \(=f(t-1)\) )과 오른쪽 끝( \( =f(t+1)\) )인데, 왼쪽 끝은 \( 5\)보다 작으므로 반드시 오른쪽 끝인 \(f(t+1)\) 의 함수값이 \(5\)이상 이어야 한다.
이를 정리하면
” \( t-1>5\) 이면 \( f(t+1)\le5\) 이다 ”
를 만족해야 한다.
함수의 평행이동을 생각하면 조금 귀찮으니 \( t+1=x\) 로 치환해 위의 명제를 다시 쓰자.
“\(x>7\) 이면 \( f(x)\le5\) 이다.”
\( x>7\)일 때 \( f(x)\) 의 그래프는 아래와 같다.
따라서 \(f(7)\le5\) 이어야 하므로
\(\displaystyle{ f(7)=a\log_{4}{2}\ge5}\) 에서
\( \displaystyle{\frac{1}{2}a\ge5}\), \( a\ge10\) 이다.
따라서 양수 \( a\) 의 최솟값은 \( 10\) 이다.
\( g(t)\) 의 그래프를 \( f(x)\) 의 그래프를 이용해 직관적으로 그려보자.
\(g(t)\) 는 구간 \( [t-1, t+1]\) 에서 최댓값이므로 함수 \( f(x)\) 의 그래프를 \( x\)축의 방향으로 \( -1\) ~ \( 1\) 만큼 평행이동한 것들 중 가장 큰 값을 채택한 것과 같다.
즉, 위의 그래프에서 제일 위에 있는 함수의 그래프를 따라 그리면 아래와 같다.
따라서 \(t\ge0\) 에서 \( g(t)\ge5\) 가 되려면 위의 그림에서 \( 6\) 부분에서 꺾이는 부분의 함숫값이 \( 5\) 이상이어야 한다.
따라서 \( t>6\) 일 때, \( f(t+1)\ge5\) 이어야 한다.
이 이후의 풀이는 [해설 1]과 같다.