정답 : \( 25\)
\( a>\sqrt{2}\)가 주어졌지만 당장 활용할 부분이 안보이므로 체크만 해두고 넘어가자.
함수 \( f(x)\)는 상수항이 없으므로 원점을 지난다.
원점에서 그은 접선이 \( f(x)\) 와 만나는 다른 점이 \( \mathrm{A}\) 이므로 \( \mathrm{A}\) 의 \( x\)좌표를 \( t\)라 하면 \( f(x)\) 와 접선이 만나는 점의 \( x\) 좌표는 \( 0, 0, t\)이고, 세 실근의 합은 변곡점의 \( 3\)배다.
\(\displaystyle{\therefore 0+0+t=3\times\frac{a}{3}}\) 에서
\( t=a\)
즉, 점 \( \mathrm{A}\)의 좌표는 \( (a, f(a))=(a, 2a)\) 이다.
점 \( \mathrm{A}\)에서의 접선이 \( x\) 축과 만나는 점이 \( \mathrm{B}\)이므로 그래프를 그리면 아래와 같다.
이때, 점 \( \mathrm{A}\)가 \( \overline{\mathrm{OB}}\) 를 지름으로 하는 원 위의 점이므로 살짝 왜곡해서 그래프를 그리면 아래와 같다.
원주각의 성질에 의해 \( \angle \mathrm{OAB}=90^{\circ}\)이다.
\( \overline{\mathrm{OA}}, \overline{\mathrm{AB}}\) 모두 \( f(x)\) 의 접선이므로 이 두 직선의 기울기의 곱이 \( -1\)임을 이용하여 식을 세우자.
\( \overline{\mathrm{OA}}\)의 기울기는 \( \displaystyle{\frac{2a}{a}=2}\)이다.
이제 \( \overline{\mathrm{AB}}\) 의 기울기를 구하자.
\( f'(x)=-3x^2+2ax+2\) 에서
\(\displaystyle{\begin{align} f'(a)&=-3a^2+2a^2+2\\[5pt]&=2-a^2 \end{align}}\)
\(\therefore \displaystyle{2\times(2-a^2)=-1}\)
\(\therefore \displaystyle{a^2=\frac{5}{2},\;a=\frac{5\sqrt{2}}{2}}\) \((\because a>\sqrt{2})\)
이제 \( \overline{\mathrm{OA}}\times\overline{\mathrm{AB}}\) 의 값을 구하자.
\( \triangle \mathrm{OAB}\)는 직각삼각형이므로 삼각형의 넓이공식을 이용하면
\( \overline{\mathrm{OA}}\times\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}\times f(a)\)이다.
점 \( \mathrm{B}\) 의 \( x\) 좌표를 \( b\) 라 하자.
직선 \( \overline{\mathrm{AB}}\) 의 기울기는 \( \displaystyle{-\frac{1}{2}}\) 이므로
\( \displaystyle{\frac{0-2a}{b-a}=-\frac{1}{2}}\)에서 \( b=5a\) 이다.
\(\begin{align} \therefore \overline{\mathrm{OA}}\times\overline{\mathrm{AB}} &=\overline{\mathrm{OB}}\times f(a)\\[5pt]&=5a\times2a\\[5pt]&=10a^2\\[5pt]&=25\end{align}\)