정답 : \( 32\)
먼저 함수 \(\displaystyle{f(x)=\sin\frac{\pi}{4}x}\) 의 그래프를 그려보자.
\( f(x)\) 의 주기는 \( \displaystyle{\frac{2\pi}{\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}=8}\) 이므로 그래프를 대략 그려보면 아래와 같다.
이제 \(\displaystyle{f(2+x)f(2-x)<\frac{1}{4}}\) 를 풀어보자.
먼저 떠올릴 수 있는 생각은 \(f(x)\) 를 평행이동, 대칭이동을 통해 식을 변형한 후 대입하는 방법이 있는데, 이렇게 식을 변형해도 \(\displaystyle{ \sin \times \sin <\frac{1}{4}}\) 꼴의 부등식이 남게 되므로 이를 처리하는 방법이 마땅치 않다.
\( f(2+x), f(2-x)\)의 그래프는 서로 \( x=2\) 에 대칭인 그래프인데, 위의 그림을 보면 \( \displaystyle{\sin\frac{\pi}{4}x}\) 는 이미 \( x=2\) 에 선대칭이다.
따라서 \( f(2+x)=f(2-x)\) 임을 알 수 있다.
[참고] 그래프를 떠올리지 못했더라도 \( f(2+x)\)를 각변환을 이용하면 위의 식을 얻을 수 있다.
\(\displaystyle{\begin{align} f(2+x)&=\sin\frac{\pi}{4}(2+x)\\[5pt]&= \sin\left(\frac{\pi}{2}+ \frac{\pi}{4}x\right)\\[5pt]&=\cos\frac{\pi}{4}x\end{align} }\)
\( f(2-x)\) 는 \( f(2+x)\) 에 \( -x\) 를 대입하면 되므로
\(\displaystyle{\begin{align} f(2-x)&=\cos\frac{\pi}{4}(-x)\\[5pt]&= \cos\frac{\pi}{4}x\\[5pt]&= f(2+x)\end{align} }\)
부등식을 다시 정리하면
\(\displaystyle{ \left \{ f(2+x)\right\}^2<\frac{1}{4}}\) 이므로
\( \displaystyle{-\frac{1}{2}<f(2+x)<\frac{1}{2}}\)이다.
이제 \( f(2+x)\) 의 그래프를 \( 0<x<16\) 의 범위에 맞게 그리자.
이때, \(f(x)\) 의 그래프를 \( x\)축의 방향으로 \(-2\) 만큼 평행이동해서 그려도 되고, \(\displaystyle{\cos\frac{\pi}{4}x}\) 의 그래프를 그려도 된다.
삼각함수의 그래프는 대칭구조이므로 첫번째 마디인 구간 \( [0, 4]\) 를 살펴보자.
\( \displaystyle{-\frac{1}{2}<f(2+x)<\frac{1}{2}}\) 를 만족하는 자연수 \( x\) 는 \( 2\) 뿐이다.
같은 구조가 \( 4\)번 반복되므로 주어진 부등식을 만족하는 모든 자연수 \( x\) 는
\( 2, 6, 10, 14\) 이다.
따라서 모든 자연수 \( x\)의 값의 합은 \(32\) 이다.
[참고] 삼각함수의 그래프가 아닌 단위원과 동경을 이용해서 풀어도 같은 값을 얻을 수 있다.
\( x\) 가 자연수이므로 \( \displaystyle{\frac{\pi}{4}x}\) 가 나타내는 각은 \( \displaystyle{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\cdots}\)이다.
단위원을 그리면 아래와 같다.
따라서 부등식을 만족하는 \( x\) 의 값은 \( 2, 6, 10, 16\) 임을 알 수 있다.