정답 : ③
\( a_1\) 이 자연수이고 \( a_n\) 이 홀수이면 \( \displaystyle{2^{a_n}} \) 은 자연수, \( a_n\) 이 짝수이면 \( \displaystyle{\frac{1}{2}a_n }\) 은 자연수이므로 \( a_{n+1}\) 도 자연수가 됨을 알 수 있다.
즉, 수열 \( \left \{a_n \right\}\) 은 모든 항이 자연수로 구성된 수열이다.
\( a_6+a_7=3\)이므로 이를 만족하는 \( a_6, a_7\) 의 값을 구해보면
\( a_6=1, a_7=2\) 또는 \( a_6=2, a_7=1\) 이다.
이제 \( a_1\) 값을 구하기 위해 주어진 점화식을 \( a_n\) 의 관점에서 다시 작성해보면 다음과 같다.
\( \displaystyle{a_n=\begin{cases} \log_{2}{a_{n+1}}&(a_n이\;홀수)\\[5pt] 2a_{n+1}&(a_{n}이\; 자연수) \end{cases}} \)
이를 쉽게 설명하면 \(2a_{n+1}\) 은 짝수, 홀수에 관계없고, \(\displaystyle{\log_{2}{a_{n+1}}}\) 의 값이 홀수이면 채택하고, 짝수이면 버리면 된다.
먼저 \( a_7=1\) 부터 역추적을 해보면
\(\log_{2}{1}=0\) 은 짝수이므로 불가능하다. 즉, \( a_6=2\times1=2\)이다.
이제 \( a_5\) 를 역추적하자.
\(\log_{2}{2}=1\) 은 홀수이므로 가능하다.
또한 \(a_5=2\times2=4\)도 가능하다.
즉, \( a_5=1\) 또는 \(a_5=2\times2=4\) 이다.
여기까지 구한 값을 수형도로 그리면 아래와 같다.
이제 \( a_4\) 의 값을 역추적 해보자.
가능한 \( a_5\) 의 값은 \(1\) or \( 4\) 이므로 먼저 \( a_5=1\) 를 점화식에 대입해보면
\( \displaystyle{\log_{2}{1}=0}\) 은 짝수이므로 불가능하다. 즉, \( a_4=2\times1=2\) 이다.
다음으로 \( a_5=4\) 를 점화식에 대입해보면
\( \displaystyle{\log_{2}{4}=2}\) 는 짝수이므로 불가능하다. 즉, \( a_4=2\times4=8\) 이다.
이제 \( a_3\) 의 값을 역추적 해보자.
가능한 \( a_4\) 의 값은 \( 2\) or \( 8\) 이므로 먼저 \( a_4=2\) 를 점화식에 대입해보면
\( \displaystyle{\log_{2}{2}=1}\) 은 홀수이므로 가능하다. 즉, \( a_3=1\) 이다.
또한 \( a_3=2\times2=4\) 도 가능하다.
다음으로 \( a_4=8\) 를 점화식에 대입해보면
\( \displaystyle{\log_{2}{8}=3}\) 은 홀수이므로 가능하다. 즉, \( a_3=3\) 이다.
또한 \( a_3=2\times8=16\) 도 가능하다.
이제 \( a_2\) 의 값을 역추적 해보자.
가능한 \( a_3\) 의 값은 \( 1\) or \( 4\) or \( 3\) or \( 16\) 이므로 먼저 \( a_4=1\) 를 점화식에 대입해보면
\( \displaystyle{\log_{2}{1}=0}\) 은 짝수이므로 불가능하다. 즉, \( a_2=2\times1=2\) 이다.
다음으로 \( a_3=4\) 를 점화식에 대입해보면
\( \displaystyle{\log_{2}{4}=2}\) 는 짝수이므로 불가능하다. 즉, \( a_2=2\times4=8\) 이다.
같은 방법으로 \( a_3=3, 16\) 을 점화식에 대입해보면 \( a_2=6, 32\) 를 얻을 수 있다.
같은 방법으로 \( a_1\) 을 역추적하면 아래 그림과 같다.
따라서 \( a_7=1\) 일 때, 가능한 \( a_1\) 의 값의 합은 \( 105\) 이다.
이제 \( a_7=2\) 일 때 가능한 \( a_1\) 의 값을 구하자.
이번에는 전부 계산할 필요없이 위에 그려놓은 수형도를 이용해보자.
\( a_7=2\) 이면, \( a_1=1\) 이므로 수형도를 오른쪽으로 1칸 옮기면 된다.
따라서 \( a_7=2\) 일 때, 가능한 \( a_1\) 의 값의 합은 \( 48\) 이다.
즉, 가능한 모든 \( a_1\) 의 값의 합은 \( 153\) 이다.