정답 : ①
함수 \( y=f(x)\) 와 \( y=t\) 의 교점을 파악하는 문제이므로 도함수를 이용해 그래프의 증가, 감소에 초점을 맞추자.
먼저, \( x\le2\) 일 때, 3차함수는 고정되어 있으므로 이 부분을 먼저 그리도록 하자.
\(f(x)=2x^3-6x+1\) 을 미분하면,
\( \begin{align} f'(x)&=6x^2-6\\[5pt]&= 6(x-1)(x+1)\end{align} \)
이므로 그래프를 그리면 아래와 같다.
여기서 \( f(2)=5\) 이므로 \( f(-1)=f(2)\) 임을 알 수 있다.
(※ 삼차함수의 비율관계를 이용하면 \( f(2)\) 의 값이 극댓값과 같다는 사실을 쉽게 알 수 있다.)
이제, \( x>2\) 일 때, \( y=f(x)\) 의 그래프를 그려보자.
\( f(x)\) 는 2차함수이고, \( a, b\) 가 자연수이므로 2차함수의 개형은 아래로 볼록이다.
이제 \( b\) 의 값에 따라 2차함수의 대칭축의 위치가 바뀌므로 [CASE]분류를 해서 그래프의 개형을 그려보자.
[CASE 1] \( b=1\)
\( f(x)\) 의 대칭축은 \(\displaystyle{x=\frac{3}{2}}\)이므로 그래프를 그리면 아래와 같다.
이제 \(\displaystyle{g(k)+\lim _{t \rightarrow k- }g(t)+\lim _{t \rightarrow k+}g(t)=9}\)를 만족하는 실수 \( t\) 의 개수가 1인지 확인해보자.
위의 그림처럼 \( -3< t\le 5\) 일 때, \( g(t)=3\) 임을 알 수 있다.
즉, 이 구간에서 \( g(t)\) 의 그래프는 상수함수가 되므로 \( -3< k\le5\) 일 때,
\(\displaystyle{g(k)+\lim _{t \rightarrow k- }g(t)+\lim _{t \rightarrow k+}g(t)=3+3+3=9}\)이다.
따라서 위의 식을 만족하는 \( k\) 의 값은 \( -3<k\le5\) 인 실수이므로 문제의 조건에 위배된다.
[CASE 2] \( b=2\)
\( f(x)\) 의 대칭축은 \(\displaystyle{x=2}\)이므로 그래프를 그리면 아래와 같다.
[CASE 1] 과 같은 이유로 \(\displaystyle{g(k)+\lim _{t \rightarrow k- }g(t)+\lim _{t \rightarrow k+}g(t)=9}\) 을 만족하는 \( k\) 의 값은 \( -3<k\le5\) 인 실수이므로 문제의 조건에 위배된다.
따라서, 이차함수의 대칭축은 \( 2\) 보다 오른쪽에 위치한다!
[CASE 3] \( b>2\)
그래프의 개형을 대략적으로 그리면 아래와 같다.
위의 그림을 보자.
\( t\) 의 값이 \( -3\) 에서 2차함수의 극솟값 사이에 있을때, \( g(t)=3\)이 되므로 문제의 조건에 위배된다.
그럼 2차함수의 그래프를 조금 더 아래로 내려보자. (위로 올려봤자 여전히 파란색구간에서 교점의 개수가 3개가 되므로 문제의 조건에 위배된다.)
위의 그래프와 같이 이차함수의 그래프를 계속 아래로 내리게 되면 파란부분과 같이 교점의 개수가 3이 되는 구간이 생기게 된다.
이 경우도 문제의 조건에 위배되므로 마지막으로 남은 경우인 3차함수와 2차함수의 극솟값이 같아지게 그래프를 그려보자.
\( k=-3\) 일 때 문제의 조건을 확인해보자.
\( g(-3)=3\), \( \displaystyle{\lim _{ x\rightarrow -3-}g(k)=1}\), \(\displaystyle{ \lim _{x \rightarrow -3+}g(k)=5}\) 이므로
\(\displaystyle{g(-3)+\lim _{x \rightarrow -3-}g(k)+\lim _{x \rightarrow -3+}g(k)=3+1+5=9 }\)이다.
그 외 나머지 값에서는 문제의 조건을 만족하지 않으므로 이 경우가 우리가 찾는 경우임을 알 수 있다.
따라서 3차함수, 2차함수의 극솟값이 같아야 하므로
\( \displaystyle{f\left(\frac{b+2}{2}\right)=-3}\)이어야 한다.
\( \displaystyle{a\times\left( \frac{b+2}{2}-2 \right)\times\left( \frac{b+2}{2}-b \right)+9=-3}\)
\(\therefore a(b-2)^2=48\)
이를 만족하는 자연수의 순서쌍의 최댓값을 구하자.
\( \begin{align} 48&=48\times1\\[5pt]&= 12\times4\\[5pt]&= 3\times 16\end{align} \)
이므로 이를 만족하는 순서쌍 \( (a, b)\) 는 다음과 같다.
\( (48, 3)\), \( (48, 1)\)
\( (12, 4)\)
\( (3, 6)\)
따라서 \( a+b\) 의 최댓값은 \( 51\) 이다.