정답 : ①
주어진 조건을 일단 도형에 표시를 해보자.
\( \triangle \mathrm{ABC}\) 에서 코사인법칙을 사용하여 \( \overline{\mathrm{AC}}\)의 길이를 구하자.
\( \overline{\mathrm{AC}}=x\) 라 하면,
\( \displaystyle{13^2=3^2+x^2-2\times3\times x\times \cos\frac{\pi}{3}}\)
\( x^2-3x-4=0\)
\( x=4\) (여기서 \( \overline{\mathrm{BC}}>\overline{\mathrm{AB}}\)이므로 삼각형이 1개로 결정되기 때문에 이차방정식의 실근은 양근1개, 음근 1개가 나온다.)
\(\displaystyle{\begin{align} \therefore S_1&=\frac{1}{2}\times3\times4\times\sin\frac{\pi}{3}\\[5pt]&= 3\sqrt{3}\end{align}}\)
이제 \( S_2\) 를 구하면 관계식 \( \displaystyle{S_2=\frac{5}{6}S_1 }\) 을 쓸 수 있다.
\(\displaystyle{S_2=\frac{1}{2}\times \overline{\mathrm{AD}}\times \overline{\mathrm{CD}}\times \sin(\angle \mathrm{ADC})}\) 이고
\( \overline{\mathrm{AD}}\times \overline{\mathrm{CD}}=9\) 이므로
\( \displaystyle{S_2=\frac{9}{2}\sin(\angle \mathrm{ADC})}\) 이다.
따라서 \(\displaystyle{S_2=\frac{5}{6}S_1}\) 의 식에 \( S_1, S_2\) 를 대입하여 정리하자.
\(\displaystyle{\frac{9}{2}\sin(\angle \mathrm{ADC} ) =\frac{5}{6}\times3\sqrt{3}}\)
\( \displaystyle{\therefore \sin(\angle \mathrm{ADC})=\frac{5}{9}\sqrt{3}}\)
마지막으로 \( R\) 을 구하기 위해 \( \triangle \mathrm{ACD}\) 에서 사인법칙을 쓰자.
\( \displaystyle{\frac{\overline{\mathrm{AC}} }{\sin(\angle \mathrm{ACD} )}=2R}\) 에 \(\displaystyle{ \overline{\mathrm{AC}}=4,\; \sin(\angle \mathrm{ADC})=\frac{5}{9}\sqrt{3}}\) 을 대입하여 정리하면
\( \displaystyle{\frac{4}{\frac{5}{9}\sqrt{3}}=2R}\)
\( \displaystyle{\therefore R=\frac{6}{5}\sqrt{3} }\)
\( \displaystyle{\therefore \frac{R}{\sin(\angle \mathrm{ADC} )}=\frac{\frac{6}{5}\sqrt{3} }{\frac{5}{9}\sqrt{3}}=\frac{54}{25} }\)