정답 : ③
함수 \( g(x)\) 는 \( x=t\) 를 기준으로 구간 별로 정의되어 있으므로, 연속성을 따져보면 \( x=t\) 에서 연속임을 알 수 있다.
이제 \( g(x)\) 의 그래프를 대략적으로 추측해보면 \( x=t\) 를 기준으로 왼쪽 부분은 \( f(x)\) 의 그래프가, 오른쪽 부분은 \(-(x-t)+f(t)\) 의 그래프가 그려진다.
이때, 함수 \( y=-(x-t)+f(t)\) 는 점 \( (t, f(t))\) 를 지나고 기울기가 \( -1\) 인 직선을 뜻하므로 대략적인 개형을 그려보면 아래와 같다.
문제에서 \( t\) 의 범위를 \( 0<t<6\) 으로 제시했고, 넓이의 최댓값을 물어보고 있으므로 \( t\) 를 \( 0\) 에서 \( 6\) 까지 움직여보면서 넓이의 변화추이를 관찰해보자.
위의 그림을 보자.
기울기가 \( -1 \) 인 직선과 \( f(x)\) 가 접하는 점을 \( t_2\) 라 하면 \( t\) 의 범위가 \( 0\) 에서 \( t_2\) 까지 변할 때 도형의 넓이가 증가하고 있음을 알 수 있다.
\( t\) 가 \( t_2\) 보다 커지게 되면 위의 그림과 같이 넓이가 감소함을 알 수 있다.(초록색의 넓이가 접할 때, 갈색의 넓이가 \( t>t_2\) 일 때의 넓이다.)
즉, \( t=t_2\) 일 때, 넓이의 값이 최대가 된다.
\( t_2\)의 값을 구하려면 \( f(x)\) 를 미분해야 하므로 주어진 식을 전개하면
\( \displaystyle{f(x)=\frac{1}{9}x^3-\frac{5}{3}x^2+6x}\)이고, 이를 미분하면
\(\displaystyle{f'(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{10}{3}x+6}\) 이다.
이제 \( t_2\) 의 값을 찾기위해 \( f'(x)=-1\) 을 풀자.
\( \displaystyle{\frac{1}{3}x^2-\frac{10}{3}x+6=-1}\)을 정리하면
\( x^2-10x+21=0\) 에서 \( (x-3)(x-7)\) 이므로 \( x=3\) 이다. \((\because 0<t<6) \)
이제 넓이를 구하기 위해 \( [0, 3]\) 과 \( [3, 6]\) 을 구분해서 넓이를 구하자.
위의 그림에서 빨간색 부분의 넓이는 \( \displaystyle{\int_{0}^{3}f(x)dx }\) 이고, 파란색 부분의 넓이는 \( \displaystyle{\frac{1}{2}\left\{ f(3)\right\}^2}\)이다.
따라서 \( \displaystyle{\int_{0}^{3}f(x)dx=\frac{9}{4}}\) 이고, \( \displaystyle{\frac{1}{2}\left\{ f(3)\right\}^2=30}\)이므로
넓이의 최댓값은 \( \displaystyle{\frac{9}{4}+30=\frac{129}{4}}\) 이다.
함수 \( g(x)\) 와 \( x\) 축으로 둘러쌓인 넓이를 \( h(t)\) 라 하면,
\( \displaystyle{h(t)=\int_{0}^{t}f(x)dx+\frac{1}{2}\left \{ f(t)\right\}^2}\)
이다.
\( h(t)\) 의 최댓값을 찾기 위해 도함수를 구하자.
\(\begin{align} h'(t)&=f(t)+f(t)f'(t)\\[5pt]&=f(t)\left \{ 1+f'(t)\right\} \end{align} \)
여기서 \( 0<t<6\) 일 때, \( f(t)>0\) 이므로 \( 1+f'(t)\) 의 부호변화만 관찰하면 된다.
\(\displaystyle{f'(t)=\frac{1}{3}(t^2-10t+18)}\) 이므로
\( \displaystyle{\begin{align} 1+f'(t)&=\frac{1}{3}(t^2-10t+21)\\[5pt]&=\frac{1}{3}(t-3)(t-7)\end{align} }\)
이다.
따라서 \( 0<t<3\) 일 때, \( 1+f'(t)>0\) 이므로 \( h'(t)>0\) 이고,
\( 3\le t < 6\) 일 때, \( 1+f'(t)\le 0\) 이므로 \( h'(t)\le0\) 이다.
즉, \( h(t)\) 는 \( t=3\) 일 때, 극대이자 최대가 된다.
\( \displaystyle{\begin{align} \therefore h(3)&=\int_{0}^{3}f(x)dx+\frac{1}{2}\left \{ f(3)\right\}^2\\[5pt]&=\frac{9}{4}+30\\[5pt]&=\frac{129}{4}\end{align} } \)