정답 : ①
등차수열 \( \left \{ a_n\right\}\) 의 공차를 \( d\) 라 하자.
\( \left\vert a_6\right\vert=a_8 \) 이고, \( \left \{ a_n\right\} \) 은 등차수열이므로 \( a_7=0\) 이고, \(a_6<0\), \(a_8>0\) 이다.
즉, \( a_6=-d, a_7=0, a_8=d\) 이고, \( d>0\) 이다.(문제에서 공차가 \( 0\)이 아니라고 제시됨.)
\( \displaystyle{\begin{align} \sum_{k=1}^{5}\frac{1}{a_k a_{k+1}}&=\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}\right)\\[5pt]&= \frac{1}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_6} \right)= \frac{5}{96}\end{align} }\)
\( a_1=-6d,\;a_6=-d\) 이므로 이를 대입하여 계산하자.
\(\displaystyle{\frac{1}{d}\left(-\frac{1}{6d}+\frac{1}{d}\right)=\frac{5}{96} }\)
양변에 \( d^2\) 을 곱해 식을 정리하면
\( d^2=16\) 이다.
따라서 \( d>0\) 이므로 \( d=4\) 이다.
\( \displaystyle{\begin{align} \therefore \sum_{k=1}^{15}a_k&=15\times\frac{a_1+a_{15}}{2}\\[5pt]&= 15\times a_8\\[5pt]&= 15\times4\\[5pt]&= 60\end{align} }\)