정답 : ②
점 \( \mathrm{P, Q}\)의 위치함수를 각각 \( s_1(t), s_2(t)\) 라 하면 \( f(t)=\vert s_1(t)-s_2(t)\vert\)이다.
\( f(t)\) 의 개형을 파악하려면 절댓값 안쪽의 함수 \( s_1(t)-s_2(t)\)의 개형을 알아야 하므로 그래프를 그리자.
\( s_1(t)-s_2(t)\) 의 도함수는
\(\begin{align} v_1(t)-v_2(t)&=(t^2-6t+5)-(2t-7)\\[5pt]&= t^2-8t+12\\[5pt]&= (t-2)(t-6)\end{align} \)
이므로 이를 이용해 \( s_1(t)-s_2(t)\) 의 개형을 대략 그리면 아래와 같다.
이 때, \( t=0\) 에서 두 점 \( \mathrm{P, Q}\) 는 둘다 원점에서 출발했으므로 \( s_1(0)-s_2(0)=0\)이다. 삼차함수의 비율관계를 이용하면 아래 그림과 같이 \( s_1(6)-s_2(6)=0\) 임을 알 수 있다.
※ 굳이 비율관계를 사용하지 않더라도 \( v_1(t)-v_2(t)\) 를 직접 적분하면 \( \displaystyle{\frac{1}{3}t(t-6)^2 }\) 의 식을 얻을 수 있다.
즉, 위의 함수는 \( t\ge0\) 일 때, 항상 양수이므로 결국 우리가 찾는 \(f(t)\)의 식은 \( s_1(t)-s_2(t)\) 임을 알 수 있다.
따라서 \(f(t)\) 는 \([0, 2]\) 에서 증가하고 \( [2, 6]\) 에서 감소, \( [6, \infty]\) 에서 증가하므로
\( a=2, b=6\) 임을 알 수 있다.
따라서 \( t=2\) 에서 \( t=6\) 까지 점 \( \mathrm{Q}\) 가 움직인 거리는
\( \displaystyle{\int_{2}^{6} \left\vert 2t-7\right\vert } dt\) 이다.
이를 계산하기 위해 \( \displaystyle{\int_{2}^{\frac{7}{2}}(7-2t)dt+\int_{6}^{\frac{7}{2} }(2t-7)dt }\)을 계산해도 좋지만, 직선의 넓이를 구하면 되므로 그래프를 이용해서 값을 구해보자.
삼각형의 넓이를 이용하면 \(\displaystyle{\int_{2}^{6}\left\vert 2t-7\right\vert dt}=\frac{9}{4}+\frac{25}{4}=\frac{17}{2}\)
\( \displaystyle{\begin{align} ※\int_{2}^{6}\left\vert 2t-7\right\vert dt&=\left[\left(t-\frac{7}{2} \right)\left\vert t-\frac{7}{2} \right\vert \right]^6_2 \\[5pt]&= \left( \frac{5}{2} \right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2\\[5pt]&= \frac{17}{2}\end{align} }\)
와 같이 계산할 수도 있다.