정답 : ③
\( y=2^x+1\) 의 그래프를 먼저 그리자.
함수 \(\displaystyle{y=\frac{1}{16}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{x-m}}\) 는 감소함수이고
\( \displaystyle{y=\left(\frac{1}{2}\right)^x}\) 의 그래프를 \( x\) 축의 방향으로 평행이동한 그래프이다.
두 그래프의 교점이 제\(1\)사분면 위에 있어야 하므로 위의 그림과 같이 파란색 그래프의 개형만 가능하다.
지수함수의 기준점은 \( y\) 절편으로 생각해보면 파란색 그래프의 개형이 되려면 \( y\) 절편의 값이 \( 2\) 보다 커야한다.
즉, \( \displaystyle{\frac{1}{16}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{0-m}>2}\) 에서
\( 2^{m-4}>2\)
\( m>5\)
따라서 자연수 \( m\) 의 최솟값은 \( 6\)이다.