정답 : ②
\( f'(x)=3x(x-2)\) 이므로 \( f(x)\) 의 개형을 그리면 아래와 같다.
\( x=1\) 이 변곡점임을 알 수 있고, \(f(1)=1\)을 이용해보자.
\( f'(x)\) 의 최고차항과 \( x\) 절편을 모두 알고 있고, 변곡점의 \( y\) 좌표를 알고 있으므로 이차함수의 넓이 공식을 활용하자.
\( f'(x)\) 와 \( x\) 축으로 둘러쌓인 도형의 넓이를 \( S\) 라 하면
\(\displaystyle{S=\frac{\left\vert 3\right\vert }{6}\left( 2-0\right)^3=4}\)
\( f(x)\) 의 극솟값은 변곡점의 \( y\) 좌표에서 \(\displaystyle{ \frac{1}{2}S}\) 만큼 빼면 된다.
\(\displaystyle{\therefore f(2)=1-\frac{1}{2}\times4=-1}\)
\( f'(x)=3x^2-6x\) 를 적분하자.
\( \displaystyle{\int(3x^2-6x)dx=x^3-3x^2+C}\) (\( C\) 는 적분상수)
\(f(1)=1\) 이므로 위의 식에 \( x=1\) 을 대입하면
\( 1-3+C=1\) 이므로 \( C=3\)
그러므로 \( f(x)=x^3-3x^2+3\)
\( f(x)\) 는 \( x=2\) 에서 극소이므로 (해설1의 그래프 참고)
\( f(2)=2^3-3\times2^2+3=-1\)