정답 : ③
함수 \( f(x)\) 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 미분불가능 의심점은 \( x=1\) 이다.
미분가능은 연속성을 내포하므로 연속이 되도록 만들자.
원칙적으로는 함수의 연속의 정의를 이용해 \(\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 1-}f(x)}\), \(\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 1+}f(x)}\), \( f(1)\) 를 따져야 하지만 \( f(x)\) 는 다항함수의 일부분으로 구성되어 있으므로 함숫값으로 대체하자.
즉, \( ax^2+bx+1,\;\;-3bx-1\)에 \( x=1\) 을 대입했을때 값이 같아야하므로
\( a+b+1=-3b-1\)이고 이를 정리하면
\( a+4b=-2\) 이다. \( \cdots\cdots \) ㉠
마찬가지로 좌미분계수/우미분계수의 정의를 이용하는 대신 \( f'(x)\) 를 구하자.
\( \displaystyle{f'(x)=\begin{cases} 2ax+b&(x<1) \\[5pt] -3b&(x\ge1)\end{cases}}\)
\( x=1\) 을 대입하자.
\( 2a+b=-3b\) \( \cdots\cdots\) ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 \( a=2, b=-1\)을 얻을 수 있다.
\( \therefore a+b=1\)
함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 미분가능하므로
차이함수인 \((ax^2+bx+1)-(-3bx-1)\)은 \((x-1)^2\)을 인수로 가져야 한다.
즉, \((ax^2+bx+1)-(-3bx-1)=k(x-1)^2\) 이다. (\(k\)는 상수)
이를 정리하면
\( ax^2+4bx+2=k(x-1)^2 \)
양변에 \(x=0\)을 대입하면 \(k=2\)이다.
그러므로 \(ax^2+4bx+2=2(x-1)^2\)
이제 \(a+b\)를 구하기 위해서 양변에 \(x=4\)를 대입하자.
\(16a+16b+2=18\)
\(\therefore a+b=1\)