정답 : ⑤
\( -4\log_{a}{b}=54\log_{b}{c}=\log_{c}{a}=k\) 라 하자.
그러면 \(\displaystyle{\log_{a}{b}=-\frac{k}{4}}\), \(\displaystyle{\log_{b}{c}=\frac{k}{54}}\), \( \displaystyle{\log_{c}{a}=k}\) 이다.
세 식을 변끼리 곱하면
\( \displaystyle{\log_{a}{b}\times\log_{b}{c}\times\log_{c}{a}=\frac{k}{-216}}\)이고
\( \log_{a}{b}\times\log_{b}{c}\times\log_{c}{a}=1\) 이므로
\( k^3=-216\) 에서 \( k=-6\) 이다.
문제의 조건에서 \( b\times c\) 의 값이 \( 300\) 이하의 자연수가 되도록 하라고 했으므로
\( b\) 와 \( c\) 를 \( a\) 에 관한 식으로 나타내자.
\( \displaystyle{\log_{a}{b}=\frac{3}{2}}\) 에서 \( b=a^{\frac{3}{2}}\)
\( \displaystyle{\log_{c}{a}=-6}\) 에서 \( c=a^{-\frac{1}{6}}\)
따라서 \( b\times c=a^{\frac{3}{2}}\times a^{-\frac{1}{6}}=a^{\frac{4}{3}}\) 이다.
즉, \( a^{\frac{4}{3}}\) 가 \( 300\) 이하의 자연수가 되야 하므로 어떤 자연수 \( n\) 에 대하여 \( a=n^3\) 이어야 한다.
그러므로 \( a^{\frac{4}{3}}=(n^3)^{\frac{4}{3}}=n^4\le300\) 를 만족하는 자연수 \( n\) 의 값은 \( 2, 3, 4\) 이다.
따라서 이를 만족하는 \( a\) 의 값은 \( 2^3, 3^3, 4^3\) 이므로 모든 \( a\) 값의 합은 \( 8+27+64=99\)이다.