정답 : ①
\( a_n+S_n=k\) 에서 \( a_n\) 과 \( S_n\) 은 같이 쓰이지 않으므로 둘 중 하나를 제거하자.
일반적으로 \( a_n\) 을 \( S_n\) 에 관련된 식으로 바꾸는 것보다 \( S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\) 을 이용하는 것이 훨씬 유리하다.
양변에 \( n\) 대신 \( n+1\) 을 대입하면
\( a_{n+1}+S_{n+1}=k\) 이다.
위의 식과 조건식을 변끼리 빼면
\( a_{n+1}+S_{n+1}-a_n-S_n=0\) 에서 \( S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) 이므로
\( 2a_{n+1}-a_n=0\) 이다.
\(\displaystyle{ \therefore a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n }\)
따라서 수열 \( \left \{ a_n\right\} \) 은 공비가 \( \displaystyle{\frac{1}{2} }\) 인 등비수열이다.
(※ 위의 서술한 식에서 \( n-1\) 이 쓰이지 않았으므로 첫째항, 둘째항부터 성립을 따질 필요가 없다.)
위의 조건식에 \( n=1\) 을 대입하면
\( a_1+S_1=k\) 이므로 \( \displaystyle{a_1=\frac{k}{2} }\) 이다.
\( S_6=189\) 이므로 등비수열의 합 공식을 쓰자.
\( \displaystyle{S_6=\frac{\displaystyle{\frac{k}{2}\left \{ 1-\left(\frac{1}{2}\right)^6 \right\} }}{\displaystyle{1-\frac{1}{2} }}=189}\)
이를 풀면
\(\displaystyle{ k=189\times\frac{64}{63}=192}\)