정답 : ①
\( f(2)+f(3)+f(4)=3\) 을 만족해야 하므로 \( n\) 에 차례로 \( 2, 3, 4\) 를 대입해서 \( f(n)\) 의 의미를 해석해보자.
\( f(2)\) 는 \( m-4\) 의 제곱근이므로 \( x^2=m-4\) 의 실근의 개수가 \( f(2)\) 이다.
즉, \( m-4>0\) 이면 \( f(2)=2\) 이고 \( m-4=0\) 이면 \( f(2)=1\), \( m-4<0\) 이면 \( f(2)=0\) 이다.
\( f(3)\) 은 \( m-6\) 의 세제곱근이므로 \( x^3=m-6\) 의 실근의 개수가 \( f(3)\) 이다. 그런데, 홀수차수의 거듭제곱근은 부호에 관계없이 반드시 \( 1\) 개이므로 \( f(3)=1\) 임을 알 수 있다.
\( f(4)\) 는 \( m-8\) 의 세제곱근이므로 \( x^4=m-8\) 의 실근의 개수가 \(f(4)\) 이다.
즉, \( m-8>0\) 이면 \( f(4)=2\) 이고 \( m-8=0\) 이면 \( f(4)=1\), \( m-8<0\) 이면 \( f(4)=0\) 이다.
\( f(3)=1\) 이므로
\( f(2)+f(4)=2\) 를 만족하는 자연수 \( m\) 의 값을 찾으면 된다.
가능한 순서쌍을 표현해보면
\( (2, 0),\;\;(1, 1)\;\;,(0,2)\) 이다.
그런데 여기서 \( 1, 1\) 즉, \( f(2)=1, f(4)=1\) 이 되려면
\( m-4=0\) 그리고 \( m-8=0\) 이어야 한다.
이를 동시에 만족하는 \( m\) 은 존재하지 않으므로 이 경우는 불가능하다.
따라서 \( (2, 0), (0, 2)\) 의 경우만 가능하므로 이는 \( m-4\) 와 \( m-8\) 의 부호가 서로 반대임을 뜻한다.
그러므로 \( (m-4)(m-8)<0\)
\( \therefore 4<m<8\)
따라서 이를 만족시키는 모든 자연수 \( m\) 의 합은 \( 5+6+7=18\) 이다.