1992학년도 2차 실험평가 24번 문제 및 해설

부채꼴의 반지름의 길이를 \( r\) , 중심각의 크기를 \( \theta\) 라 하자.

부채꼴의 호의 길이는 \( r\theta\) 이므로 둘레의 길이는 \( 2r+r\theta=10\) 이다.

이때, \( r<5\) 임을 주의하자. (\( r\ge5\) 이면 둘레의 길이가 \( 10\mathrm{cm} \) 를 넘으므로 문제의 조건에 위배된다.

부채꼴의 넓이 공식은 \( \displaystyle{\frac{1}{2}r^2\theta } \) 이므로 이를 \( r\) 에 관한 식으로 정리하자.

\( 2r+r\theta=10\) 에서 \( \displaystyle{\theta=\frac{10-2r}{r} }\) 이므로 이를 대입하자.

부채꼴의 넓이를 \( S\) 라 하면

\( \displaystyle{\begin{align}  S&=\frac{1}{2}\times r^2\times\frac{10-2r}{r}\\[5pt]&=-r^2+5r\\[5pt]&=-\left( r-\frac{5}{2} \right)^2 +\frac{25}{4}\le\frac{25}{4}  \end{align} } \) 

이다. 따라서 \( \displaystyle{r=\frac{5}{2} }\) 일 때, 부채꼴의 넓이가 최대가 된다.