정답 : ①
먼저 \( S_n\) 을 새로운 수열의 관점에서 해결해보자.
문제에서 주어진 수열을 \( \left \{ a_n\right \}\) 이라고 하고, 수열 \( \left \{ S_n\right \}\) 을 나열해보면서 관찰하자. (낯선수열이 등장하면 나열해보고 관찰하면서 규칙을 파악하는 것이 중요하다!)
\(\begin{align}S_1&=a_1\\[5pt]&=1\end{align} \)
\(\begin{align}S_2&=a_1+a_2=1+(-2)\\[5pt]&=-1\end{align} \)
\(\begin{align}S_3&=a_1+a_2+a_3\\[5pt]&=S_2+a_3=-1+3\\[5pt]&= 2\end{align} \)
\(\begin{align}S_4&=S_3+a_4=2+(-4)\\[5pt]&=-2\end{align} \)
\(\begin{align}S_5&=S_4+a_5=(-2)+5\\[5pt]&=3\end{align} \)
\(\; \vdots \)
이를 관찰하면 수열 \( \left \{ S_n\right \}\)은
\( 1, -1, 2, -2, 3, -3, \cdots \) 임을 알 수 있다.
이것을 식으로 나타내면 \( S_{2k-1}=k\) , \( S_{2k}=-k\) 이다.
\( \therefore S_{100}+S_{29}=(-50)+15=-35\)
\( \begin{align} S_n&=1-2+3-4+\;\cdots\;+(-1)^{n+1}\times n\\[5pt]&=1\times(-1)^2+2\times(-1)^3+\;\cdots\;+n\times(-1)^{n+1} \cdots ㉠ \end{align} \)
양변에 \( (-1)\) 을 곱하면
\(-S_n=1\times(-1)^3+2\times(-1)^4+\;\cdots\;+n\times(-1)^{n+2} \cdots ㉡\)
\( ㉠-㉡\) 을 구하면
\(\begin{align} S_n-(-S_n)&=1\times(-1)^2+(2-1)\times(-1)^3+\\[5pt]&\cdots+\left\{ n-(n-1)\right\}\times(-1)^{n+1}-(-1)^{n+2}n \\[5pt]&=(-1)^2+(-1)^3+\cdots+(-1)^{n+1}-(-1)^{n+2}n \end{align} \)
이다.
이때, \( (-1)^2+(-1)^3+\cdots(-1)^{n+1}\) 은 등비수열의 합이므로 공식을 이용해 식을 정리하자.
\( \begin{align} 2S_n&=\displaystyle{\frac{(-1)^2\left\{ 1-(-1)^n\right\} }{1-(-1)} }-(-1)^{n+2}n\\[5pt]&= \displaystyle{\frac{1+(-1)^{n+1}}{2} }-(-1)^{n+2}n \\[5pt]&= \displaystyle{\frac{1+(-1)^{n+1}-2n(-1)^{n+2}}{2}} \\[5pt]&=\displaystyle{\frac{1+(-1)^{n+1}+2n(-1)^{n+1}}{2} } \\[5pt]&= \displaystyle{\frac{1+(1+2n)(-1)^{n+1}}{2} } \end{align} \)
이므로 \( \displaystyle{S_n=\frac{1+(1+2n)(-1)^{n+1}}{4} } \) 이다.
\( \therefore S_{100}+S_{29}=-50+15=-35\)
수열 \(\left \{a_n\right\}\) 을 보면 인접한 두 항의 합이 \(-1\)임을 알 수 있다. 이를 이용하여 \(S_{100}\), \(S_{29}\)를 직접 구해보자.
\(\begin{align}S_{100}&=1-2+3-4+\;\cdots\;+99-100\\[5pt]&=(1-2)+(3-4)+\;\cdots\;+(99-100)\\[5pt]&=(-1)+(-1)+\;\cdots\;+(-1)\\[5pt]&=(-1)\times50=-50\end{align}\)
\(\begin{align}S_{29}&=1-2+3-4+\;\cdots\;+27-28+29\\[5pt]&=(1-2)+(3-4)+\;\cdots\;+(27-28)+29\\[5pt]&=(-1)+(-1)+\;\cdots\;+(-1)+29\\[5pt]&=(-1)\times14+29=-14+29\\[5pt]&=15\end{align}\)
\(\therefore S_{100}+S_{29}=-35\)