정답 : ④
먼저 주어진 문제 상황을 간단히 그려보면 아래와 같다.
직선 \(\rm{PQ}\)가 포물선의 초점의 좌표인\(\displaystyle{\left(\frac{1}{4}, 0\right)}\)를 지난다는 보장을 할 수 없으므로 포물선의 성질을 활용하기 보다는 단순한 식의 계산으로 접근하도록 하자.
점 \(\rm{P, Q}\)의 좌표를 각각 \((\alpha^2, \alpha)\), \((\beta^2,\beta)\)라 하면, 직선 \(\rm{OP}\), \(\rm{OQ}\)의 기울기는 각각 \(\displaystyle{\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}}\)이다.
이때, \(\angle\rm{POQ}=90^\circ\)이므로 두 직선 \(\rm{OP}\), \(\rm{OQ}\)의 기울기의 곱은 \(-1\)이다.
즉, \(\displaystyle{\frac{1}{\alpha}\times\frac{1}{\beta}}=-1\)이므로, \(\alpha\times\beta=-1\)이다.
이제 \(\alpha, \beta\)의 관계식을 하나 더 찾으면 되는데, 직선 \(\rm{PQ}\)의 방정식인 \(y-1=m(x-2)\)와 포물선 \(y^2=x\)의 교점이 \(\rm{P, Q}\) 이므로 연립방정식을 세우면 된다.
\(y-1=m(x-2)\)에 \(x\) 대신 \(y^2\) 을 대입하면, \(y-1=m(y^2-2)\)이다.
이를 정리하면 \(my^2-y+1-2m=0\)이고,
이차방정식의 두 근이 \(\alpha, \beta\) 이므로 근과 계수와의 관계를 적용하면 \(\displaystyle{\alpha\beta=\frac{-2m+1}{m}=-1}\)이므로 \(-2m+1=-m\)이다.
\(\therefore m=1\)
\( \displaystyle{\therefore \overline{\rm{PQ}}}\)의 방정식은 \( y-1=x-2\)이므로 \( y=x-1\) 이다.