정답 : \( \displaystyle{\frac{5}{2}}\)
\( \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) 에서 \( \sin^2\theta=1-\cos^2\theta\) 이므로 이를 주어진 함수에 대입하여 정리하면
\( \begin{align}y&=\sin^2\theta+2a\cos\theta-1 \\[5pt]&=\left(1-\cos^2\theta \right)+2a\cos\theta-1\\[5pt]&=-\cos^2\theta+2a\cos\theta\;(0\le\theta\le2\pi) \end{align}\)
이다.
\( \cos\theta=t\) 라 치환하자. (이때, 범위가 바뀐다는 점을 신경쓰자!)
범위는 \( -1\le t\le1\) 가 되고
\( \begin{align}y&=-t^2+2at\\[5pt]&=-(t-a)^2+a^2\end{align}\)
이다.
이때, 정의역은 고정\(( -1\le t\le1)\) 되어 있지만, \( a\) 의 값에 따라 함수의 대칭축\( (x=a)\) 이 바뀌므로 그에 따라 최대, 최소도 변하므로 [CASE] 분류를 할 생각을 하자.
\( t\) 의 범위가 \( -1\le t\le1\)이므로 대칭축\( (x=a)\) 의 위치가 \( a<-1,\; -1<a<1,\; a>1\) 일 때 따져주면 된다.
[CASE 1] \( a<-1\)
문제에서 \( a>0\) 인 조건이 있으므로 이 경우는 생각하지 않아도 된다.
[CASE 2] \( -1<a<1\)
이 경우에서 함수 \( y=-(t-a)^2+a^2\) 는 \( x=a\) 일 때, 최댓값 \( a^2\) 을 가지고 문제에서 최댓값을 \( 4\) 라고 했으므로 \( a^2=4\) 이다.
\( \therefore a=2 \;(\because a>0)\)
그런데 [CASE 2]의 조건인 \( -1<a<1\) 을 만족하지 않으므로 이 경우는 정답이 될 수 없다.
[CASE 3] \( a>1\)
이 경우에서 함수 \( y=-(t-a)^2+a^2\) 는 \( x=1\) 일 때, 최댓값 \( 2a-1\) 을 가지고 문제에서 최댓값을 \( 4\) 라고 했으므로 \( 2a-1=4\) 이다.
\( \therefore a=\displaystyle{\frac{5}{2}} \)
\( \displaystyle{a=\frac{5}{2}} \) 는 [CASE 3]의 조건인 \( a>1\) 을 만족하므로 최종적으로 문제의 조건을 만족하는 \( a\) 의 값은 \( \displaystyle{\frac{5}{2}}\) 이다.